Jeder zählt irgend etwas, das Alter unserer Kinder, das Alter von uns selbst, die Anzahl unserer gefunden Caches, die Anzahl der Kilometer, die man von Cache zu Cache zurückgelegt hat, die Anzahl der Kommentare im Blog, die Anzahl der Podcasts, die Anzahl der Beiträge im Blog, die Anzahl von Zugriffen auf eine Webseite… Was auch immer. Um diese Statistik soll es hier nicht gehen, sondern um die Methoden der Statistik als Teilgebiet der Mathematik. Keine Angst, es bleibt bei leichter Kost.
„Das Final befindet sich 60 m nordöstlich des Mittelpunktes des Innenkreises des durch die ersten drei Stationen gebildeten Dreiecks…“
So oder so ähnlich könnte eine Aufgabe für einen Cache lauten. Nein, es soll jetzt nicht darum gehen, wie man diesen Mittelpunkt konstruiert. Gelegentlich trifft man auf Multis oder Mysterys, bei denen man die Koordinaten der Stationen gegeben hat oder auch selbst messen muss und aus all diesen dann nach irgendeinem Verfahren die Koordinaten der nächsten Station berechnen muss.
Nun wissen wir alle, dass es schon fast einem Sechser im Lotto gleich kommt, wenn unser GPSr oder das des Owners, die Koordinaten auf den Punkt genau bestimmt. Im Idealfall können wir aufgrund der Genauigkeit der Positionsangabe auf eine Tausendstel Bogenminute (0,001’) in einer geografischen Breiten von 53° schon eine Abweichung von 2,16 m erwarten. Je dichter wir an den Äquator kommen, umso größer wird sie bis schließlich 2,62 m direkt am Äquator. Das war der Idealfall, den wir aber draußen kaum antreffen. Berge, Häuserschluchten, das Laubdach der Bäume, Hochspannungsleitungen, Sendeanlagen, Wolken, Regen… können die Ungenauigkeit schon enorm erhöhen. Auch hängt die Genauigkeit von der Anzahl und der relativen Position der gerade empfangenen Satteliten ab. Im Mittel geht man von einer Genauigkeit von etwa 10 m aus.
10 m Abweichung für eine Station. Wie verhält es sich aber, wenn wie in diesem Fall die Ungenauigkeit von mehreren Stationen eingeht? Der Optimist erwartet, dass sich die Fehler gegenseitig zu Null aufheben, während der Pessimist davon ausgeht, dass sich die Fehler aufsummieren. Im Einzellfall wird sicher mal das eine wie das andere eintreffen. Was können wir jedoch im Mittel für eine Abweichung erwarten?
Da gibt es diesen zentralen Grenzwertsatz, der eigentlich besagt, dass die Summe von Zufallszahlen sich der Normalverteilung nähert. Schön, das soll uns hier aber nicht weiter interessieren. Der zentrale Grenzwertsatz sagt jedoch auch etwas darüber aus, wie sich die Parameter Mittelwert und Standardabweichung dieser Normalverteilung ergeben. Die Standardabweichung dieser aus der Summe von Zufallsereignissen gebildeten neuen Verteilung ist genau das, was uns interessiert, nämlich die zu erwartende Abweichung bzw. Ungenauigkeit der berechneten Koordinaten.
Auf die mathematischen Einzelheiten wollen wir jetzt einfach mal großzügig verzichten, sondern schauen uns gleich mal das Endergebnis an. Die Abweichung am Final ist gleich der Abweichung an den einzelnen Stationen, die wir hier mal für alle als gleich groß annehmen, multipliziert mit der Wurzel aus der Anzahl der Stationen (ergibt sich direkt aus dem zentralen Grenzwertsatz durch einfaches Umformen).
In unserem obigen Dreiecksbeispiel würde das bedeuten, dass wir bei einer Abweichung von 10 m an den einzelnen Stationen und eben insgesamt drei Stationen bei der Suche des Finals uns auf eine Ungenauigkeit von 10 mal Wurzel 3, das sind gleich 10 mal 1,73 also etwa 17 m einstellen müssen.
Wenn wir jedoch die Koordinaten der Stationen auch noch selbst messen müssen, was bei einigen Mysterys durchaus vorkommt, hat der Owner drei Stationen vermessen (drei Zufallswerte) und wir drei Stationen, was wieder drei Zufallswerte sind. Wir haben es dann nicht mehr mit einem Zufallsereignis zu tun, das aus drei, sondern aus sechs Einzelereignissen besteht. Da die Wurzel aus sechs etwa 2,45 beträgt, haben wir es jetzt mit einer Abweichung von 24 bis 25 m zu tun.
Es gibt durchaus Caches, da geht dieses Spielchen nicht nur über drei, sondern neun Stationen, die man selbst vermessen muss, also wurde dann insgesamt 18 mal gemessen (Owner und wir) und kommen dann auf eine Abweichung von 42 m.
Das ist ja alles ganz nett, aber was hat das denn jetzt für eine Konsequenz? Für uns, die den Cache suchen, bedeutet das, dass wir beim Vermessen der Einzelstationen so genau wie möglich sein sollten (damit wir unter zehn Meter kommen). OK, das war jetzt sicher keine große Erkenntnis. Gleichzeitig sollte uns bewusst sein, dass wir den Radius der Suche am Final in Abhängigkeit der Anzahl der Stationen doch deutlich größer wählen sollten.
Für den Owner bedeutet das, dass er sich vorher überlegen sollte, ob es wirklich so viele Stationen sein müssen und ob er die Koordinaten nicht lieber vorgibt, die er vorher wirklich sehr genau bestimmt haben sollte. Trotz alledem sollte auch dem Owner in Abhängigkeit der Anzahl der Stationen die Abweichung klar sein und den Schwierigkeitsgrad entsprechend festlegen oder mit zusätzlichen Hinweisen und Spoilern, die Suche erleichtern.